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平方关係或毕达哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean T

在 \(\Delta ABC\) 中,若 \(\angle ACB=90^\circ\) 且令 \(\theta=\angle BAC\),如下图一所示,根据三角函数的定义, 则 \(\sin\theta=\frac{a}{c}\),\(\cos\theta=\frac{a}{c}\),\(\tan\theta=\frac{a}{b}\),\(\cot\theta=\frac{b}{a}\),\(\sec\theta=\frac{c}{b}\),\(\csc\theta=\frac{c}{a}\)。

平方关係或毕达哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean T

图一:现行高中数学教科书,锐角三角函数的定义是建立在直角三角形上。

透过直角三角形的毕氏定理关係:\(a^2+b^2=c^2\),

若将左右两式同除 \(c^2\),得 \({\left( {\frac{a}{c}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{c}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{c}} \right)^2}\),即 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\);

若将毕氏定理关係左右两式同除 \(b^2\),得 \({\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{b}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{b}} \right)^2}\),即 \({\tan ^2}\theta+ 1 = {\sec ^2}\theta\);

若将毕氏定理关係左右两式同除 \(a^2\),得 \({\left( {\frac{a}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} = {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2}\),即 \(1+{\cot^2}\theta= {\csc ^2}\theta\),

这三个三角函数的恆等式 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1;\)\({\tan ^2}\theta+ 1 = {\sec ^2}\theta;\)\(1 + {\cot ^2}\theta= {\csc ^2}\theta\) 就是三角函数的平方关係,值得注意的是符号的表徵形式,\((\sin\theta)^2\) 通常以 \(\sin^2\theta\) 表示,而非 \(\sin\theta^2\)。

由于平方关係所产生的理论是根据毕氏定理,因此,三角函数的平方关係又称为毕达哥拉斯三角恆等式。这三个平方关係是三角函数中最基本的性质,其重要性很类似实数的平方公式:

\({(a + b)^2} = {a^2} + 2ab + {b^2};{(a – b)^2} = {a^2} – 2ab + {b^2}\)

只要熟练这些基本性质,给定任何一个三角函数值,不必根据定义,其余五个皆可迎刃而解,

例如:已知 \(\sin\theta\) 值, 则 \(\cos\theta=\pm \sqrt {1 – {{\sin }^2}\theta };\)

\(\tan\theta=\pm\displaystyle\frac{{\sin \theta }}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}\theta}}};~~~\)\(\cot\theta=\pm\displaystyle\frac{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}\theta } }}{{\sin \theta }};~~~\)

\(\sec\theta=\pm\displaystyle\frac{1}{{\sqrt {1 – {{\sin }^2}\theta } }};~~~\)\(\csc\theta=\displaystyle\frac{1}{{\sin \theta }}\)。

这三个平方关係不论在恆等式的证明或计算方面的运用都极为广泛,

例如:在三角函数恆等式证明:\(\displaystyle\tan\theta+\cot\theta=\frac{1}{{\sin \theta\cdot\cos\theta }}\),

就必须借助于第一个平方关係 \(\sin^2\theta+\cos^2\theta=1\),

即 \(\displaystyle\tan\theta+\cot \theta= \frac{{\sin \theta }}{{\cos \theta }}+\frac{{\cos \theta }}{{\sin \theta }}= \frac{{{{\sin }^2}\theta+ {{\cos }^2}\theta }}{{\sin \theta\cdot \cos \theta }}= \frac{1}{{\sin \theta\cdot \cos\theta}}\)。

第二个恆等式证明例子为 \(\displaystyle\frac{{1+\cot\theta }}{{1 – \cot \theta }}+\frac{{1-\cot\theta }}{{1+\cot \theta }}=- 2\sec 2\theta\)。

此例题除了必须运用第三个平方关係 \(1 + {\cot ^2}\theta= {\csc ^2}\theta\) 外,

还必须引进二倍角公式 \({\cos ^2}\theta- {\sin ^2}\theta= \cos 2\theta\), 过程如下:

\(\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{{1+\cot\theta }}{{1-\cot \theta}}+\frac{{1-\cot \theta }}{{1+\cot\theta }}&=\displaystyle\frac{{{{(1 + \cot \theta )}^2} + {{(1 – \cot \theta )}^2}}}{{(1 – \cot \theta )(1 + \cot \theta )}} = \frac{{2(1 + {{\cot }^2}\theta )}}{{1 – {{\cot }^2}\theta }}\\&=\displaystyle\frac{{2{{\csc }^2}\theta }}{{1 -\displaystyle\frac{{{{\cos }^2}\theta }}{{{{\sin }^2}\theta }}}} \\&=\displaystyle\frac{2}{{{{\sin }^2}\theta- {{\cos}^2}\theta}}=\frac{2}{{-\cos 2\theta }} \\&=- 2\sec 2\theta\end{array}\)

在计算方面,例如化简 \(2\left( {{{\sin }^6}x+ {{\cos }^6}x} \right)- 3\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\) 式子,如果没有平方关係的概念, 就无法得出正确答案 \(-1\)。

美国数学竞试(American Mathematics Competition, AMC)在1999年第12年级测验中第15题:

已知 \(x\) 为实数,且 \(\sec x-\tan x=2\) ,则 \(\sec x+\tan x=?\)
\((A)~0.1~~~(B)~0.2~~~(C)~0.3~~~(D)~0.4~~~(E)~0.5\)

解法:这个题目就是在测试考生对于三角函数平方关係的了解程度。

根据平方关係 \({\tan ^2}\theta+ 1 = {\sec ^2}\theta ,\therefore\left( {\sec \theta- \tan \theta } \right)(\sec \theta+ \tan \theta ) = 1\),

且 \(\sec x-\tan x=2\) , 则 \(\sec x+\tan x=0.5\),所以,正确的选项为 \((E)\)。

另外,William Romaine在 Proof without Words: Exercise in Visual Thinking 发表有趣的恆等式, 其不言而喻的证明过程中所利用的关係式,即是平方关係的 \(\tan^2\theta+1=\sec^2\theta\) 与 \(1+\cot^2\theta=\csc^2\theta\)。 如图二所示:

平方关係或毕达哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean T

图二:William Romaine的恆等式

此外,在三角函数的运用範畴中,这些平方关係式除了在有些三角函数需要简化的时候是很有用外,另一个重要应用 出现在三角函数的积分:一个常用技巧是首先使用三角函数的代换规则,再利用平方关係,即可顺利求得积分。

平方关係或毕达哥拉斯三角恆等式 (Pythagorean T

图三:三角函数平方关係图

上图三中的 \(\Delta OAC,\Delta OAE,\Delta OAF\) 蕴含有三个毕达哥拉斯三角恆等式,您是否已经看出端倪呢?

参考资料

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